Mathematische Funktionen für Schüler: Wie Gleichung, Tabelle und Graph zusammenhängen

Beim Thema Funktionen kann es oft zu Verwirrung kommen. Zwischen Funktionsgleichung, Graph, Tabelle usw. ist es leicht, den Überblick zu verlieren. Dieses Problem begleitet viele Schüler bis ins Abitur. Das muss aber nicht so bleiben, denn Funktionen kann man auch ganz anschaulich verstehen.

Was ist eine Funktion?

Viele können sich darunter sicher etwas vorstellen, trotzdem gibt es oft Unklarheiten. Ganz einfach gesagt: Eine Funktion beschreibt, wie ein Wert von einem anderen abhängt. Dabei gibt es immer eine Ursache und eine Wirkung. Die Ursache nennen wir meistens x, die Wirkung y bzw. f(x).

Eine Funktion kann auf drei Arten dargestellt werden:

• Funktionsgleichung

• Wertetabelle

• Grafik

Die Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichung ist sozusagen das Rezept der Funktion.
Sie könnte zum Beispiel so aussehen:

f(x) = 3 + 4 ⋅ x

Die Variable x ist der Teil der Funktion, den man verändern darf, quasi ein Platzhalter. f bezeichnet die Funktion selbst, also den Mechanismus, der jeder Zahl x eine zweite Zahl y zuordnet. Diese zweite Zahl nennen wir f(x).

Beispiel:
Wenn wir x = 2 ersetzen, erhalten wir:

f(2) = 3 + 4 ⋅ 2 = 11

Das bedeutet, dass für x = 2 der Funktionswert y = 11 ist.

Ein einfaches Beispiel: Der Kaugummiautomat

Stell dir einen Kaugummi-Automaten vor. Du wirfst eine Münze hinein (x = Ursache), und ein Kaugummi kommt heraus (f(x) = Wirkung). Jede Münze erzeugt genau ein Ergebnis, genau wie eine Funktion jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet.

Die Wertetabelle

Eine Wertetabelle entsteht, indem man verschiedene x-Werte in die Funktion einsetzt und die zugehörigen y-Werte notiert. Meistens wählt man aufeinanderfolgende Zahlen, z. B. 1, 2, 3 usw. 

Für unser Beispiel f(x) = 3 + 4 ⋅ x sieht die Tabelle wie folgt aus:

Diese Werte werden mit Hilfe der Funktionsgleichung berechnet:

f(1) = 7, f(2) = 11, f(3) = 15, und so weiter.

Die Tabelle zeigt das Muster, das jedes x mit seinem y verbindet.
Sie ist besonders hilfreich beim Zeichnen des Graphen der Funktion.

Die Grafik

Der Graph ist die visuelle Darstellung einer Funktion.
Man trägt die Punkte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem ein und verbindet sie.

Für f(x) = 3 + 4⋅x würden die Punkte aus unserer Tabelle zu einer Linie führen, die stetig nach oben steigt.
Auch hier gilt: Jeder Punkt zeigt wieder die Ursache-Wirkung-Beziehung. x ist die Eingabe, f(x) die Ausgabe, genau wie bei unserem Kaugummi-Automaten. 

Jeder, der den Graphen versteht, kann sofort sehen, wie sich die Funktion verhält, ohne jeden einzelnen Wert berechnen zu müssen.

Schlussfolgerung

Eine Funktion ist also nichts anderes als ein System, das einem Wert einen anderen zuordnet. Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph sind nur drei verschiedene Wege, dasselbe zu zeigen:

• Gleichung = das Rezept

• Tabelle = die einzelnen Werte

• Grafik = die visuelle Darstellung

Wenn du diese Zusammenhänge verstanden hast, wirst du Funktionen nie wieder als kompliziert empfinden, fast so einfach wie einen Kaugummi aus einem Automaten zu ziehen.